/* eslint-disable no-undef */ // ===================================================== // Страницы визуализаций — каждая со вступлением + интерактив // ===================================================== function VizPageDirectionField() { return (

Визуализация · к главе 1

Поле направлений

Уравнение {"$y' = f(x, y)$"} в каждой точке плоскости задаёт наклон. Семейство этих наклонов и есть поле направлений. Интегральная кривая всегда «течёт» вдоль него.

Что попробовать

Поменять уравнение справа: классическое {"$y'=x-y$"} с асимптотой {"$y=x-1$"}; логистическое {"$y'=y(1-y)$"} с устойчивым {"$y=1$"} и неустойчивым {"$y=0$"}; периодически качающееся {"$y'=\\sin x-y$"}.
Кликнуть в любой точке холста — оттуда стартует новая интегральная кривая.
Менять плотность поля направлений ползунком.

); } function VizPageBlowUp() { return (

Визуализация · к главе 2

Взрыв решения за конечное время

Правая часть {"$f(y)=y^2$"} локально липшицева, поэтому Пикар гарантирует единственное решение в окрестности любой точки. Но это решение продолжается лишь до {"$x=1/y_0$"} — там {"$|y(x)|\\to\\infty$"} за конечное время.

Связь с теорией

Это альтернатива 2 теоремы о продолжении: уход в бесконечность за конечное время. Точное решение {"$y(x)=\\dfrac{y_0}{1-y_0 x}$"} имеет вертикальную асимптоту в точке {"$x^* = 1/y_0$"}; перетягивая ползунок {"$y_0$"}, можно увидеть, как точка взрыва уезжает по гиперболе.

); } function VizPageClairaut() { return (

Визуализация · к главе 1.7

Уравнение Клеро: семейство прямых и огибающая

Уравнение Клеро {"$y = x\\,y' + \\psi(y')$"} имеет два типа решений: семейство прямых {"$y=Cx+\\psi(C)$"} (общее) и огибающую (особое). В каждой точке огибающей касается одна из прямых — там нарушается единственность задачи Коши.

Что происходит математически

Дифференцируя {"$y=Cx+\\psi(C)$"} по {"$C$"} и приравнивая к нулю, получаем {"$x+\\psi'(C)=0$"}. Из этого выражаем {"$C=C(x)$"} и подставляем — получается уравнение огибающей в параметрической форме {"$x = -\\psi'(C),\\,y = -C\\psi'(C)+\\psi(C)$"}.

Для {"$\\psi(p)=-p^2/4$"}: {"$x=C/2,\\,y=C^2/4$"} → исключая {"$C$"}: парабола {"$y=x^2$"}.

); } function VizPagePendulum() { return (

Визуализация · к главам 6, 7

Маятник: фазовый портрет

Математический маятник {"$\\ddot y + \\sin y = 0$"} — двумерная автономная система {" $\\dot y=v,\\,\\dot v=-\\sin y$ "}с первым интегралом {"$E=v^2/2-\\cos y$"} (полная энергия).

Три режима движения

E < 1: колебания вокруг центра {"$(2\\pi k, 0)$"} — замкнутые траектории.
E = 1: сепаратрисы — критические траектории, идущие из седла {"$(\\pi+2\\pi k,0)$"} в соседнее седло.
E > 1: вращения — траектория не замкнута, маятник делает полные обороты.

С трением

Включив параметр {"$\\gamma > 0$"}, мы получаем {"$\\ddot y + \\gamma\\dot y + \\sin y = 0$"}. Энергия больше не сохраняется — траектории спиралью притягиваются к центрам {"$(2\\pi k,0)$"}, которые из «центров» превращаются в устойчивые фокусы.

); } function VizPagePhase() { return (

Визуализация · к главе 6.2

Классификация особых точек 2D-системы

Линейная автономная система {"$\\dot{\\mathbf x} = A\\mathbf x$"} в {"$\\mathbb R^2$"} имеет восемь типичных фазовых портретов, определяемых собственными значениями матрицы {"$A$"}. Переключайтесь между ними и «крутите» матрицу руками.

Шпаргалка

{"$\\lambda_1,\\lambda_2 \\in \\mathbb R$"}, оба < 0 — устойчивый узел; оба > 0 — неустойчивый; разных знаков — седло.
{"$\\lambda_{1,2}=\\alpha\\pm i\\beta$"}: фокус (устойчивый при {"$\\alpha < 0$"}); чисто мнимые — центр.
{"$\\lambda_1=\\lambda_2$"} с одним собственным направлением — вырожденный узел; матрица скалярна — дикритический.

А диаграмма Пуанкаре, объединяющая всё это в одну плоскость, —{' '} на следующей странице.

); } function VizPagePoincare() { return (

Визуализация · к главе 6.2

Диаграмма Пуанкаре

Тип особой точки 2D-системы целиком определяется двумя инвариантами матрицы: следом {"$\\operatorname{tr} A$"} и определителем {"$\\det A$"}. На плоскости этих величин получается чёткая картина всех восьми режимов.

Границы регионов

Парабола {"$D=(\\operatorname{tr} A)^2 - 4\\det A=0$"} разделяет узлы и фокусы.
Вертикальная ось {"$\\operatorname{tr} A=0$"} при {"$\\det A>0$"} — центры.
{"$\\det A<0$"} — седло.
Знак {"$\\operatorname{tr} A$"} различает устойчивость: «слева — стабильно, справа — нет».

Перетягивайте курсором точку по плоскости — увидите, как изменение коэффициентов матрицы перескакивает между режимами. Превью в правой панели — фазовый портрет соответствующей системы.

); } // ---------- Playgrounds (additional interactive sandboxes) ---------- function VizPageParticlePlayground() { return (

Песочница · к главе 1

Поток в поле направлений

Здесь обычное поле направлений превращено в живой поток. Кликайте по полю — горсть шариков падает в эту точку и плывёт вдоль интегральных кривых, как листья по реке. Цвет показывает скорость или знак производной — это даёт почувствовать поле «телом», а не только глазом.

Что попробовать

Включи «авто-душ» — слева непрерывно сыплется поток шариков, видна вся структура потока.
Раскрась по знаку y′ — сразу понятно, где функция растёт (синие), где падает (тёплые).
На {"$y' = xy$"} брось шарики в четырёх четвертях — увидишь сразу четыре разных характера движения.

); } function VizPagePhaseFlow() { return (

Песочница · к главе 6

Фазовый поток: брось шарик в поле

Двумерные автономные системы в реальном времени. Шарик начинает катиться от точки клика, и вы видите трактoрию в процессе, а не как застывшую кривую. Цвет хвоста показывает скорость — там, где пружина сильнее, шарик летит быстрее, и хвост желтеет.

Что попробовать

Ван-дер-Поль: кликни и в центр, и далеко снаружи — оба шарика выйдут на один и тот же предельный цикл.
Хищник–жертва: любой шарик внутри положительного квадранта движется по замкнутой кривой вокруг точки равновесия — это и есть закон Лотки-Вольтерра.
Маятник с трением: подкрути γ и кликни сверху — шарик спирально стечёт к одному из центров.
Дюффинг: две притягивающие точки — кликни рядом с одной, потом ровно по седлу — почувствуй чувствительность.

); } function VizPagePhysicalPendulum() { return (

Песочница · к главе 7

Маятник в реальном времени

Две картинки одного и того же объекта: слева — настоящий маятник, который качается, справа — точка в фазовой плоскости {"$(y,\\,v)$"}, которая ездит вдоль линии уровня энергии. Перетягивайте шар мышью или кликайте на фазовом портрете — связь между «физикой» и «фазой» становится ощутимой.

Что попробовать

Запустить с «Малые колебания» — точка в фазовой плоскости описывает аккуратный эллипс. Энергия низкая (синий бар).
Нажать «Сепаратриса» — траектория ползёт через седло, бесконечно долго подходя к перевёрнутому положению.
«Вращение» — маятник делает полные обороты, в фазовой плоскости точка уходит на бесконечный вращательный режим.
Подкрутить трение γ и запустить «Большой размах» — энергия монотонно падает, спираль сходится в центр.

); } Object.assign(window, { VizPageHome, VizPageDirectionField, VizPageBlowUp, VizPageClairaut, VizPagePendulum, VizPagePhase, VizPagePoincare, VizPageParticlePlayground, VizPagePhaseFlow, VizPagePhysicalPendulum, }); // Landing / Home page function VizPageHome() { return (

Интерактивный гайд

Теоретический минимум по ОДУ

Мини‑учебник по годовому курсу обыкновенных дифференциальных уравнений (МФТИ, 3–4 семестры) с интерактивными иллюстрациями. Текст — строго по теоретическому минимуму: определения, теоремы, «что это значит по сути», якоря и разборы экзаменационных задач. Шесть{' '} интерактивов {' '}и три{' '} песочницы {' '}встроены прямо в поток глав — отмечены точками в левом меню.