Если решение задачи Коши зависит от параметра, его производная по параметру удовлетворяет линейному уравнению в вариациях. Это сквозной тип задач на экзамене.
Рассматривается семейство задач Коши, зависящее от параметра {"$\\alpha\\in\\Lambda\\subset\\mathbb R^k$"}:
{"$$\\dot{\\mathbf y}=\\mathbf f(x,\\mathbf y,\\alpha),\\qquad \\mathbf y(x_0(\\alpha))=\\mathbf y_0(\\alpha).$$"}
Цель — изучить, как решение {"$\\mathbf y(x,\\alpha)$"} зависит от {"$\\alpha$"}: непрерывно? дифференцируемо? аналитически?
Пусть выполнены условия:
Тогда решение {"$\\mathbf y(x,\\alpha)$"} непрерывно зависит от {"$(\\alpha,\\mathbf y_0,x_0)$"} на любом замкнутом подотрезке его существования.
Малые возмущения правой части и начальных условий приводят к малому изменению решения на ограниченном отрезке. Это критически важно для физических моделей: реальные параметры всегда известны с погрешностью.
Технически результат доказывается через лемму Гронуолла: разность двух решений с близкими параметрами оценивается экспонентой от константы Липшица.
Если правая часть {"$\\mathbf f(x,\\mathbf y,\\alpha)$"} непрерывно дифференцируема по {"$\\mathbf y$"} и {"$\\alpha$"}, и начальное условие {"$\\mathbf y_0(\\alpha)$"} непрерывно дифференцируемо по {"$\\alpha$"}, то решение {"$\\mathbf y(x,\\alpha)$"} непрерывно дифференцируемо по {"$\\alpha$"} на отрезке существования.
Производная
{"$$\\mathbf u(x)=\\left.\\frac{\\partial \\mathbf y}{\\partial \\alpha}\\right|_{\\alpha=\\alpha_0}$$"}
удовлетворяет линейному уравнению в вариациях:
{"$$\\dot{\\mathbf u}=\\mathbf f_{\\mathbf y}\\bigl(x,\\mathbf y(x,\\alpha_0),\\alpha_0\\bigr)\\,\\mathbf u+\\mathbf f_\\alpha\\bigl(x,\\mathbf y(x,\\alpha_0),\\alpha_0\\bigr),$$"}
с начальным условием
{"$$\\mathbf u(x_0)=\\left.\\frac{d\\mathbf y_0}{d\\alpha}\\right|_{\\alpha_0}.$$"}
Алгоритм 9‑й задачи на экзамене:
«Дифференцируй уравнение по {"$\\alpha$"}, подставь {"$\\alpha=\\alpha_0$"} и опорное решение, реши получившееся линейное уравнение для {"$\\mathbf u$"}» — это и есть алгоритм 9‑й задачи на экзамене.
Начальное условие в уравнении в вариациях — это производная по {"$\\alpha$"} от начального условия исходной задачи, а не нуль (если начальное условие зависело от {"$\\alpha$"}).
Если меняется ещё и точка {"$x_0(\\alpha)$"}, появляется дополнительный вклад: {"$\\mathbf u(x_0)=d\\mathbf y_0/d\\alpha-\\mathbf f(x_0,\\mathbf y_0,\\alpha_0)\\cdot dx_0/d\\alpha$"}.
Найдите {"$\\partial y/\\partial \\mu|_{\\mu=0}$"} для решения задачи Коши
{"$$x^2 y'=-2xy+\\frac{1}{1+\\mu x^2 y^2},\\quad y(1)=\\mu+1.$$"}
Шаг 1. При {"$\\mu=0$"}: {"$x^2 y'=-2xy+1,\\,y(1)=1$"}. Опорное решение: {"$y_0(x)=1/x$"} (проверка подстановкой).
Шаг 2. {"$u=\\partial y/\\partial \\mu|_{\\mu=0}$"}. Дифференцируя по {"$\\mu$"} и подставляя {"$\\mu=0,\\,y=y_0$"}:
{"$$x^2 u'=-2xu-y_0^2\\cdot x^2=-2xu-1,\\quad u(1)=1.$$"}
Шаг 3. Линейное: {"$u'+(2/x)u=-1/x^2$"}. Решение методом Бернулли: {"$u=-\\dfrac{\\ln x}{x^2}+\\dfrac{C}{x^2}$"}. Из {"$u(1)=1$"}: {"$C=1$"}.
Ответ: {"$u(x)=\\dfrac{1-\\ln x}{x^2}$"}.
Решение задачи Коши {"$y'=\\alpha^2(x+3)+2y+\\alpha y^2,\\,y(0)=1+\\tfrac12\\alpha$"}. Найдите {"$\\partial y/\\partial\\alpha|_{\\alpha=0}$"}.
Шаг 1. При {"$\\alpha=0$"}: {"$y'=2y,\\,y(0)=1$"}. Опорное: {"$y_0(x)=e^{2x}$"}.
Шаг 2. {"$u'=2u+y_0^2=2u+e^{4x},\\,u(0)=\\tfrac12$"}.
Шаг 3. {"$u'-2u=e^{4x}$"}. Частное: {"$u_{\\text{ч}}=\\tfrac12 e^{4x}$"}. Общее: {"$u=Ce^{2x}+\\tfrac12 e^{4x}$"}. Из {"$u(0)=1/2$"}: {"$C=0$"}.
Ответ: {"$u(x)=\\tfrac12 e^{4x}$"}.
Теорема Пеано (только существование). Если {"$\\mathbf f(x,\\mathbf y)$"} непрерывна (без условия Липшица), то задача Коши имеет хотя бы одно локальное решение, но единственность не гарантирована.
Здесь центральные понятия — фундаментальная система решений, определитель Вронского, формула Лиувилля и метод вариации постоянных, дающий формулу Коши.
Рассматриваем линейную однородную систему
{"$$\\dot{\\mathbf y}=A(x)\\mathbf y,\\quad \\mathbf y\\in\\mathbb R^n,$$"}
где {"$A(x)$"} непрерывна на {"$(a,b)$"}, либо линейное однородное уравнение n‑го порядка
{"$$y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\\dots+p_n(x)y=0$$"}
с непрерывными коэффициентами {"$p_i(x)$"} на {"$(a,b)$"}.
Пусть {"$A(x)$"} (для системы) или коэффициенты {"$p_1(x),\\dots,p_n(x)$"} (для уравнения n‑го порядка) и правая часть {"$\\mathbf f(x)$"} непрерывны на интервале {"$(a,b)$"}. Тогда для любых {"$x_0\\in(a,b)$"} и любых начальных условий задача Коши имеет единственное решение, определённое на всём интервале {"$(a,b)$"}.
Это существенное усиление теоремы Пикара для общих уравнений. В общем случае Пикар даёт только локальное существование, а решение может «взорваться» внутри области. Для линейного уравнения такого не бывает:
«Линейное живёт там, где живут коэффициенты»: решение определено всюду, где непрерывна {"$A(x)$"} (или {"$p_i(x)$"}). Никаких внутренних «взрывов».
В точках разрыва коэффициентов теорема не работает: интервал максимального существования может оборваться там, где {"$A(x)$"} перестаёт быть непрерывной. Например, {"$xy'+y=0$"} в точке {"$x=0$"}: после деления на {"$x$"} получаем {"$y'=-y/x$"} с разрывом в {"$0$"}, и решения {"$y=C/x$"} «взрываются».
Фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы {"$\\dot{\\mathbf y}=A(x)\\mathbf y$"} — любая совокупность {"$\\mathbf y_1(x),\\dots,\\mathbf y_n(x)$"} из {"$n$"} линейно независимых решений.
Фундаментальная матрица (ФМ) — матрица {"$\\Phi(x)\\in\\mathbb R^{n\\times n}$"}, столбцами которой служат вектор‑функции из некоторой ФСР:
{"$$\\Phi(x)=[\\mathbf y_1(x)\\mid\\mathbf y_2(x)\\mid\\dots\\mid\\mathbf y_n(x)].$$"}
Свойства фундаментальной матрицы:
Для линейной однородной системы с непрерывной {"$A(x)$"} на {"$(a,b)$"} ФСР существует.
Конструкция: взять {"$n$"} линейно независимых начальных векторов {"$\\mathbf e_1,\\dots,\\mathbf e_n$"} (например, стандартный базис) и определить {"$\\mathbf y_j(x)$"} как решение задачи Коши с {"$\\mathbf y_j(x_0)=\\mathbf e_j$"}.
ФСР — «базис» в пространстве решений (которое имеет размерность {"$n$"}). Любое решение есть единственная линейная комбинация:
{"$$\\mathbf y(x)=C_1\\mathbf y_1(x)+\\dots+C_n\\mathbf y_n(x)=\\Phi(x)\\,\\mathbf C,\\quad \\mathbf C\\in\\mathbb R^n.$$"}
Решение задачи Коши {"$\\mathbf y(x_0)=\\mathbf y_0$"}:
{"$$\\mathbf y(x)=\\Phi(x)\\,\\Phi^{-1}(x_0)\\,\\mathbf y_0.$$"}
Матрица {"$\\Phi(x)\\,\\Phi^{-1}(x_0)$"} называется матрицей Коши или матрицантом системы — переводит начальное состояние в момент {"$x_0$"} в состояние в момент {"$x$"}.
{"$\\Phi(x)\\Phi^{-1}(x_0)$"} — машина времени для системы: положил вектор в момент {"$x_0$"}, получил, куда система его перенесёт к моменту {"$x$"}.
Линейная независимость функций и линейная независимость решений линейной системы — разные понятия. Функции {"$x$"} и {"$x^2$"} независимы как функции, но это не делает их ФСР какого‑либо уравнения.
Вронскианом {"$n$"} решений {"$\\mathbf y_1,\\dots,\\mathbf y_n$"} системы называется определитель составленной из них матрицы:
{"$$W(x)=\\det[\\mathbf y_1(x)\\mid\\mathbf y_2(x)\\mid\\dots\\mid\\mathbf y_n(x)].$$"}
Вронскиан для уравнения n‑го порядка {"$y^{(n)}+p_1 y^{(n-1)}+\\dots+p_n y=0$"} — определитель из решений и их производных:
{"$$W(x)=\\det\\begin{pmatrix}y_1&y_2&\\dots&y_n\\\\ y_1'&y_2'&\\dots&y_n'\\\\ \\vdots&\\vdots&&\\vdots\\\\ y_1^{(n-1)}&y_2^{(n-1)}&\\dots&y_n^{(n-1)}\\end{pmatrix}.$$"}
Пусть {"$\\mathbf y_1,\\dots,\\mathbf y_n$"} — решения системы {"$\\dot{\\mathbf y}=A(x)\\mathbf y$"}, тогда
{"$$W(x)=W(x_0)\\cdot\\exp\\!\\left(\\int_{x_0}^x \\operatorname{tr} A(t)\\,dt\\right).$$"}
Для уравнения {"$y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\\dots+p_n(x)y=0$"}:
{"$$W(x)=W(x_0)\\cdot\\exp\\!\\left(-\\int_{x_0}^x p_1(t)\\,dt\\right).$$"}
Вронскиан — паспорт линейной независимости. Один раз ноль — навсегда ноль. Один раз не ноль — всегда не ноль.
Дихотомия Вронского справедлива только для решений одной линейной системы, а не для произвольных функций. Например, {"$y_1=x,\\,y_2=x^2$"} имеют {"$W(0)=0$"} и {"$W(x)\\ne 0$"} при {"$x\\ne 0$"} — но это не противоречие, потому что эти функции не являются ФСР какой‑либо одной системы с непрерывными коэффициентами в точке {"$x=0$"}.
Множество всех решений системы {"$\\dot{\\mathbf y}=A(x)\\mathbf y$"} (или уравнения {"$y^{(n)}+p_1 y^{(n-1)}+\\dots+p_n y=0$"}) с непрерывными коэффициентами на {"$(a,b)$"} есть линейное пространство размерности {"$n$"}. Любое решение имеет вид
{"$$\\mathbf y(x)=C_1\\mathbf y_1(x)+\\dots+C_n\\mathbf y_n(x)=\\Phi(x)\\,\\mathbf C,$$"}
где {"$\\{\\mathbf y_j\\}$"} — ФСР, {"$\\mathbf C\\in\\mathbb R^n$"} — произвольный постоянный вектор.
Множество решений неоднородной системы {"$\\dot{\\mathbf y}=A(x)\\mathbf y+\\mathbf f(x)$"} — аффинное пространство:
{"$$\\mathbf y_{\\text{общ.неодн}}(x)=\\mathbf y_{\\text{общ.одн}}(x)+\\mathbf y_{\\text{ч.неодн}}(x),$$"}
где:
Принцип суперпозиции. Если {"$\\mathbf f(x)=\\mathbf f_1(x)+\\mathbf f_2(x)$"}, то частное решение можно искать в виде {"$\\mathbf y_{\\text{ч}}=\\mathbf y_{\\text{ч},1}+\\mathbf y_{\\text{ч},2}$"}, где {"$\\mathbf y_{\\text{ч},j}$"} — частное решение для {"$\\mathbf f_j$"}.
«Общее = общее однородного + частное неоднородного» — мантра линейной теории.
Пусть {"$\\Phi(x)$"} — ФМ системы {"$\\dot{\\mathbf y}=A(x)\\mathbf y$"}, {"$\\mathbf f(x)$"} непрерывна на {"$(a,b)$"}. Тогда решение задачи Коши
{"$$\\dot{\\mathbf y}=A(x)\\mathbf y+\\mathbf f(x),\\quad \\mathbf y(x_0)=\\mathbf y_0$$"}
задаётся формулой
{"$$\\mathbf y(x)=\\Phi(x)\\,\\Phi^{-1}(x_0)\\,\\mathbf y_0+\\Phi(x)\\!\\int_{x_0}^{x}\\Phi^{-1}(s)\\,\\mathbf f(s)\\,ds.$$"}
Алгоритм метода вариации постоянных для системы:
В формуле Коши: первое слагаемое — решение однородной задачи с начальным условием {"$\\mathbf y_0$"}; второе — частное решение неоднородной с нулевым начальным условием.
Пусть {"$y_1(x),\\dots,y_n(x)$"} — ФСР однородного уравнения {"$y^{(n)}+p_1 y^{(n-1)}+\\dots+p_n y=0$"}. Частное решение неоднородного уравнения {"$y^{(n)}+\\dots+p_n y=f(x)$"} ищем в виде
{"$$y(x)=C_1(x)\\,y_1(x)+\\dots+C_n(x)\\,y_n(x),$$"}
где {"$C_j'(x)$"} удовлетворяют линейной алгебраической системе
{"$$\\begin{cases}C_1'y_1+\\dots+C_n'y_n=0,\\\\ C_1'y_1'+\\dots+C_n'y_n'=0,\\\\ \\dots\\\\ C_1'y_1^{(n-1)}+\\dots+C_n'y_n^{(n-1)}=f(x).\\end{cases}$$"}
Матрица этой системы — Вронскиан, она невырождена ({"$W(x)\\ne 0$"}), поэтому {"$C_j'(x)$"} однозначно определяются и интегрируются.
Рассмотрим два уравнения на {"$(a,b)$"}:
{"$$y''+q_1(x)\\,y=0,\\qquad z''+q_2(x)\\,z=0,$$"}
с непрерывными коэффициентами {"$q_1,q_2$"}, причём
{"$$q_2(x)\\ge q_1(x)\\ \\text{на}\\ (a,b),\\qquad q_2\\not\\equiv q_1.$$"}
Тогда между любыми двумя соседними нулями любого нетривиального решения {"$y(x)$"} первого уравнения лежит хотя бы один нуль любого нетривиального решения {"$z(x)$"} второго.
Большее {"$q$"} — частые нули. Жёсткая пружина ⇒ частые колебания.
Автономная система — это {"$\\dot{\\mathbf x}=\\mathbf f(\\mathbf x)$"} без явной зависимости от времени. Геометрия фазового потока, классификация особых точек по собственным значениям и устойчивость по Ляпунову — основа всей теории.
Автономной называется система, правая часть которой не зависит явно от {"$t$"}:
{"$$\\dot{\\mathbf x}=\\mathbf f(\\mathbf x),\\quad \\mathbf x\\in G\\subset\\mathbb R^n,\\quad \\mathbf f\\in C^1(G).$$"}
Основные понятия:
Автономность означает «правила игры не меняются со временем»: одно и то же состояние системы всегда приводит к одинаковой эволюции. Поэтому траектории и не пересекаются: иначе в точке пересечения было бы два разных будущего.
Замечание: для неавтономной системы {"$\\dot{\\mathbf x}=\\mathbf f(t,\\mathbf x)$"} траектории в фазовом пространстве {"$G$"} могут пересекаться — пересекаются интегральные кривые в расширенном пространстве {"$\\{t\\}\\times G$"}.
Рассмотрим {"$\\dot{\\mathbf x}=A\\mathbf x$"} с постоянной матрицей {"$A$"} размера {"$2\\times 2$"}, {"$\\det A\\ne 0$"} (иначе {"$0$"} — не изолированное равновесие). Тип особой точки {"$\\mathbf 0$"} полностью определяется собственными значениями {"$\\lambda_1,\\lambda_2$"} матрицы {"$A$"}.
Диаграмма Пуанкаре на плоскости {"$(\\operatorname{tr} A,\\det A)$"}:
Положение равновесия {"$\\mathbf x_0$"} называется гиперболическим, если все собственные значения матрицы Якоби {"$A=\\partial\\mathbf f/\\partial\\mathbf x|_{\\mathbf x_0}$"} имеют ненулевые действительные части.
Пусть {"$\\mathbf x_0$"} — гиперболическая особая точка плоской системы {"$\\dot{\\mathbf x}=\\mathbf f(\\mathbf x)$"}, и линеаризованная система имеет в нуле узел, фокус или седло. Тогда фазовый портрет нелинейной системы в окрестности {"$\\mathbf x_0$"} топологически эквивалентен фазовому портрету линеаризованной системы.
Случай центра в линеаризации — особый: тип нелинейной точки не определяется только линейной частью.
Центр в линеаризации — ловушка. В нелинейной системе он может стать слабым фокусом. Чтобы доказать центр в нелинейной системе — найдите первый интеграл.
Пусть {"$\\mathbf x_0$"} — неособая точка системы ({"$\\mathbf f(\\mathbf x_0)\\ne 0$"}, {"$\\mathbf f\\in C^k$"}). Тогда существует окрестность {"$U$"} и {"$C^k$"}‑диффеоморфизм {"$\\Psi:U\\to V\\subset\\mathbb R^n$"} такой, что в новых координатах {"$\\mathbf y=\\Psi(\\mathbf x)$"} система имеет вид
{"$$\\dot y_1=1,\\quad \\dot y_2=0,\\dots,\\dot y_n=0.$$"}
Вне особой точки векторное поле локально выпрямляется заменой координат до тривиального параллельного потока.
Положение равновесия {"$\\mathbf x_0$"} называется устойчивым по Ляпунову, если
Асимптотически устойчиво = устойчиво по Ляпунову + {"$\\mathbf x(t)\\to\\mathbf x_0$"} при {"$t\\to+\\infty$"} для близких начальных условий.
Неустойчиво — если не устойчиво по Ляпунову.
Пусть {"$A=\\partial\\mathbf f/\\partial\\mathbf x|_{\\mathbf x_0}$"}. Тогда:
Все Re < 0 — асимптотически устойчиво (экспоненциально). Есть Re > 0 — неустойчиво. Re = 0 — критика, линейная часть не работает.
Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость — разные понятия. Центр устойчив по Ляпунову, но не асимптотически.
В критическом случае ({"$\\operatorname{Re}\\lambda_i=0$"}) теорема о линейном приближении не работает. Нужны методы Ляпунова (функция Ляпунова).
Найдите положения равновесия и определите тип:
{"$$\\dot x=\\ln(2+2x+3y),\\quad \\dot y=e^{5-3x+2y}-1.$$"}
Шаг 1. Из {"$\\dot x=0$"}: {"$2x+3y=-1$"}. Из {"$\\dot y=0$"}: {"$5-3x+2y=0$"}. Решая: {"$(1,-1)$"}.
Шаг 2. Якобиан: {"$A=\\begin{pmatrix}2&3\\\\-3&2\\end{pmatrix}$"}. {"$\\operatorname{tr}A=4$"}, {"$\\det A=13$"}, {"$D=16-52<0$"}. СЗ: {"$\\lambda=2\\pm 3i$"}.
Ответ: неустойчивый фокус.
Непрерывно дифференцируемая функция {"$V(\\mathbf x)$"} в окрестности {"$U$"} точки {"$\\mathbf x_0$"} называется положительно определённой, если
{"$$V(\\mathbf x_0)=0,\\qquad V(\\mathbf x)>0\\ \\text{при}\\ \\mathbf x\\ne\\mathbf x_0,\\ \\mathbf x\\in U.$$"}
Аналогично определяется отрицательно определённая функция: меняем все неравенства на противоположные.
Пример: {"$V(\\mathbf x)=\\sum x_i^2$"} — положительно определена. Квадратичная форма {"$V=(A\\mathbf x,\\mathbf x)$"} положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры {"$A$"} положительны (критерий Сильвестра).
Положительно определённая в окрестности {"$\\mathbf x_0$"} функция {"$V(\\mathbf x)$"} называется функцией Ляпунова автономной системы {"$\\dot{\\mathbf x}=\\mathbf f(\\mathbf x)$"}, если её производная вдоль решений
{"$$\\dot V(\\mathbf x)=\\nabla V(\\mathbf x)\\cdot\\mathbf f(\\mathbf x)=\\sum_{i=1}^n \\frac{\\partial V}{\\partial x_i}\\,f_i(\\mathbf x)$$"}
неположительна в окрестности {"$\\mathbf x_0$"}: {"$\\dot V(\\mathbf x)\\le 0$"}.
Пусть {"$\\mathbf x_0$"} — положение равновесия системы {"$\\dot{\\mathbf x}=\\mathbf f(\\mathbf x)$"} и существует функция Ляпунова {"$V(\\mathbf x)$"} в окрестности {"$\\mathbf x_0$"}, т. е.:
Тогда положение равновесия {"$\\mathbf x_0$"} устойчиво по Ляпунову.
Если дополнительно {"$\\dot V(\\mathbf x)<0$"} при {"$\\mathbf x\\ne\\mathbf x_0$"} (строго отрицательная производная), то {"$\\mathbf x_0$"} асимптотически устойчиво.
Пусть {"$V(\\mathbf x)$"} непрерывно дифференцируема в окрестности {"$\\mathbf x_0$"}, {"$V(\\mathbf x_0)=0$"}, и существует область {"$\\Omega$"} (примыкающая к {"$\\mathbf x_0$"}), в которой
Тогда {"$\\mathbf x_0$"} неустойчиво.
Геометрическая идея. Линии уровня положительно определённой {"$V$"} — это замкнутые гиперповерхности, окружающие точку {"$\\mathbf x_0$"}. Условие {"$\\dot V\\le 0$"} означает, что вдоль решения {"$V$"} не возрастает: фазовая траектория не пересекает изнутри наружу уровни {"$V=\\varepsilon$"}, а значит остаётся вблизи равновесия.
При {"$\\dot V<0$"} траектория обязательно сжимается к {"$\\mathbf x_0$"}: значение {"$V$"} вдоль решения монотонно убывает к нулю.
Когда применять прямой метод Ляпунова:
{"$V$"} — «обобщённая энергия», {"$\\dot V$"} — её скорость изменения. Не растёт ⇒ устойчиво. Строго убывает ⇒ асимптотически устойчиво. Возрастает на конусе вокруг точки ⇒ неустойчиво (Четаев).
Прямой метод Ляпунова не конструктивен: нет общего рецепта построения {"$V$"}. Типичные кандидаты:
Теорема Лагранжа–Дирихле. Для механической системы с лагранжианом {"$L=T-\\Pi$"} в строгом минимуме потенциальной энергии {"$\\Pi$"} положение равновесия устойчиво по Ляпунову. Функция Ляпунова — полная энергия {"$V=T+\\Pi-\\Pi_{\\min}$"}.
Теорема Пуанкаре–Бендиксона. Если фазовая траектория плоской автономной системы остаётся в ограниченной области без особых точек, её {"$\\omega$"}‑предельное множество — предельный цикл. Это центральный результат теории плоских автономных систем — все «нетривиальные» периодические явления на плоскости.
Первый интеграл — это сохраняющаяся величина вдоль движения. Энергия консервативной системы. Наглядно: фазовые траектории лежат на её линиях уровня.
Непрерывно дифференцируемая функция {"$u:G\\to\\mathbb R$"}, не тождественно постоянная, называется первым интегралом системы {"$\\dot{\\mathbf x}=\\mathbf f(\\mathbf x)$"}, если она постоянна вдоль любого решения:
{"$$u(\\mathbf x(t))=\\text{const на каждой траектории}.$$"}
Функциональная независимость. Первые интегралы {"$u_1,\\dots,u_k$"} называются функционально независимыми в окрестности точки, если матрица Якоби {"$\\partial(u_1,\\dots,u_k)/\\partial(x_1,\\dots,x_n)$"} имеет ранг {"$k$"} в этой окрестности.
Непрерывно дифференцируемая функция {"$u(\\mathbf x)$"} — первый интеграл системы {"$\\dot{\\mathbf x}=\\mathbf f(\\mathbf x)$"} тогда и только тогда, когда
{"$$\\mathcal L_{\\mathbf f}\\,u(\\mathbf x):=\\nabla u(\\mathbf x)\\cdot \\mathbf f(\\mathbf x)=\\sum_{i=1}^n f_i(\\mathbf x)\\,\\frac{\\partial u}{\\partial x_i}=0\\quad \\forall\\,\\mathbf x\\in G.$$"}
Оператор {"$\\mathcal L_{\\mathbf f}$"} называется производной по направлению векторного поля {"$\\mathbf f$"} (или производной Ли).
В окрестности каждой неособой точки {"$\\mathbf x_0$"} ({"$\\mathbf f(\\mathbf x_0)\\ne\\mathbf 0$"}) автономная система имеет:
В {"$\\mathbb R^n$"} фазовая траектория — одномерная кривая, поэтому её можно задать {"$n-1$"} независимыми уравнениями {"$u_i=c_i$"}.
Алгоритм нахождения первых интегралов (метод симметричной формы):
{"$$\\frac{dx_1}{f_1(\\mathbf x)}=\\frac{dx_2}{f_2(\\mathbf x)}=\\dots=\\frac{dx_n}{f_n(\\mathbf x)}.$$"}
Стандартные приёмы:
Первый интеграл — сохраняющаяся величина вдоль движения. Энергия консервативной системы. Нашёл {"$n-1$"} интеграл — система решена в неявном виде.
Уравнение в частных производных вида {"$\\sum a_i\\,\\partial u/\\partial x_i=0$"} решается через первые интегралы характеристической системы. Центральная связка: решение УЧП ↔ функция от первых интегралов характеристик.
Рассматривается уравнение
{"$$a_1(\\mathbf x)\\,\\frac{\\partial u}{\\partial x_1}+a_2(\\mathbf x)\\,\\frac{\\partial u}{\\partial x_2}+\\dots+a_n(\\mathbf x)\\,\\frac{\\partial u}{\\partial x_n}=0,$$"}
где {"$a_i$"} непрерывно дифференцируемы в {"$G$"} и не обращаются одновременно в нуль.
Уравнениями характеристик УЧП {"$\\sum a_i(\\mathbf x)\\,\\partial u/\\partial x_i=0$"} называется автономная система ОДУ
{"$$\\frac{dx_1}{a_1(\\mathbf x)}=\\frac{dx_2}{a_2(\\mathbf x)}=\\dots=\\frac{dx_n}{a_n(\\mathbf x)},$$"}
эквивалентная (после введения параметра {"$t$"}) системе
{"$$\\dot{\\mathbf x}(t)=\\mathbf a(\\mathbf x(t)).$$"}
Её решения — характеристики УЧП — кривые в области {"$G$"}, касающиеся векторного поля {"$\\mathbf a(\\mathbf x)$"}.
Геометрический смысл. Условие {"$\\mathbf a\\cdot\\nabla u=0$"} означает, что градиент {"$u$"} ортогонален вектору {"$\\mathbf a$"}, т. е. функция {"$u$"} постоянна вдоль характеристик. Линии уровня {"$u=\\text{const}$"} складываются из характеристик.
Непрерывно дифференцируемая функция {"$u(\\mathbf x)\\in C^1(G)$"} — решение УЧП {"$\\sum a_i\\,\\partial u/\\partial x_i=0$"} тогда и только тогда, когда она является первым интегралом характеристической системы.
В окрестности неособой точки {"$\\mathbf x_0$"} ({"$\\mathbf a(\\mathbf x_0)\\ne\\mathbf 0$"}) общее решение УЧП имеет вид
{"$$u(\\mathbf x)=F\\bigl(\\varphi_1(\\mathbf x),\\dots,\\varphi_{n-1}(\\mathbf x)\\bigr),$$"}
где:
Постановка. Найти решение {"$u(\\mathbf x)$"} УЧП {"$\\sum a_i\\,\\partial u/\\partial x_i=0$"}, удовлетворяющее начальному условию
{"$$u\\big|_S=\\psi(\\mathbf x)$$"}
на заданной гиперповерхности {"$S\\subset G$"} размерности {"$n-1$"}, где {"$\\psi$"} — заданная непрерывно дифференцируемая функция.
Условие трансверсальности. Поверхность {"$S$"} трансверсальна характеристикам в точке {"$\\mathbf x_0\\in S$"}, если характеристика, проходящая через {"$\\mathbf x_0$"}, не касается {"$S$"} (вектор {"$\\mathbf a(\\mathbf x_0)$"} не лежит в касательном пространстве к {"$S$"} в этой точке).
Пусть в точке {"$\\mathbf x_0\\in S$"} выполнено условие трансверсальности. Тогда в окрестности {"$\\mathbf x_0$"} задача Коши для ЛОУрЧП имеет единственное решение.
Алгоритм:
Решение УЧП = функция от первых интегралов характеристик. Центральная связка раздела.
Если характеристика касается {"$S$"} — задача Коши либо не имеет решения, либо неединственна.
{"$x\\,u_x+2y\\,u_y+x\\,u_z=0,\\,x>0$"}; задача Коши {"$u=(x-z)/x$"} при {"$x=y$"}.
Шаг 1. Характеристики: {"$dx/x=dy/(2y)=dz/x$"}. Из 1‑го и 3‑го: {"$dx=dz\\Rightarrow\\varphi_1=z-x$"}. Из 1‑го и 2‑го: {"$2dx/x=dy/y\\Rightarrow\\varphi_2=y/x^2$"}.
Шаг 2. Общее: {"$u=F(z-x,\\,y/x^2)$"}.
Шаг 3. На {"$\\{x=y\\}$"}: {"$\\varphi_2=1/x$"}, {"$\\varphi_1=z-x$"}. Условие: {"$u=(x-z)/x=-\\varphi_1\\varphi_2$"}.
Ответ: {"$u=y(x-z)/x^2$"}.
Квазилинейное УЧП первого порядка:
{"$$a_1(\\mathbf x,u)\\,u_{x_1}+\\dots+a_n(\\mathbf x,u)\\,u_{x_n}=b(\\mathbf x,u).$$"}
Характеристическая система: {"$dx_1/a_1=\\dots=dx_n/a_n=du/b$"}. Общее решение неявно: {"$F(\\varphi_1,\\dots,\\varphi_n)=0$"} с {"$n$"} независимыми первыми интегралами.
Вариационное исчисление — задача поиска функции, доставляющей экстремум функционалу. Основной инструмент — уравнение Эйлера: «второй закон Ньютона» для функционала.
Функционал — отображение {"$J:\\mathcal C\\to\\mathbb R$"} некоторого множества функций в действительные числа.
Слабая норма на {"$C^1[a,b]$"}: {"$\\|y\\|_1=\\max|y|+\\max|y'|$"}. Сильная норма: {"$\\|y\\|_0=\\max|y|$"}.
Сильный/слабый экстремум. Функция {"$y$"} доставляет слабый локальный минимум {"$J$"}, если {"$J[y]\\le J[\\tilde y]$"} для всех допустимых {"$\\tilde y$"} с {"$\\|\\tilde y-y\\|_1$"} малой; сильный — то же с заменой {"$\\|\\cdot\\|_1$"} на {"$\\|\\cdot\\|_0$"} (более широкий класс возмущений, более сильное условие на {"$y$"}).
Найти {"$y(x)\\in C^1[a,b]$"} с закреплёнными концами {"$y(a)=A,\\,y(b)=B$"}, доставляющую экстремум
{"$$J[y]=\\int_a^b F(x,y(x),y'(x))\\,dx,\\qquad F\\in C^2.$$"}
Допустимые функции: {"$y\\in C^1[a,b]$"} с {"$y(a)=A,\\,y(b)=B$"}. Допустимая вариация {"$\\delta y\\in C^1[a,b]$"} удовлетворяет {"$\\delta y(a)=\\delta y(b)=0$"}.
Экстремаль — функция {"$y\\in C^2[a,b]$"}, удовлетворяющая уравнению Эйлера. Допустимая экстремаль — дополнительно удовлетворяющая граничным условиям.
Если {"$y(x)\\in C^2[a,b]$"} доставляет слабый локальный экстремум {"$J$"} при {"$y(a)=A,\\,y(b)=B$"}, то {"$y(x)$"} удовлетворяет уравнению Эйлера:
{"$$F_y-\\frac{d}{dx}F_{y'}=0,\\qquad x\\in(a,b).$$"}
В развёрнутом виде (раскрывая полную производную):
{"$$F_y-F_{y'x}-F_{y'y}\\,y'-F_{y'y'}\\,y''=0$$"}
— ОДУ второго порядка относительно {"$y(x)$"}, с двумя произвольными постоянными.
Алгоритм решения простейшей задачи:
Уравнение Эйлера — второй закон Ньютона для функционала: {"$F_{y'}$"} — импульс, {"$F_y$"} — сила.
Постановка. Найти {"$y\\in C^1[a,b]$"}, доставляющую экстремум {"$J[y]=\\int_a^b F(x,y,y')\\,dx$"}, при этом значения {"$y(a)$"} и/или {"$y(b)$"} не закреплены — они могут быть любыми.
Если {"$y\\in C^2[a,b]$"} — слабый локальный экстремум функционала {"$J$"}, то выполнены:
Когда конец закреплён ({"$y(a)=A$"}), вариация на нём обязана быть нулевой: {"$\\delta y(a)=0$"}. Поэтому соответствующее граничное слагаемое в формуле первой вариации
{"$$\\delta J=\\bigl[F_{y'}\\,\\delta y\\bigr]_a^b+\\int_a^b\\left(F_y-\\frac{d}{dx}F_{y'}\\right)\\delta y\\,dx$$"}
автоматически зануляется. Когда конец свободен, {"$\\delta y(a)\\ne 0$"} допустимо, и чтобы граничное слагаемое всё равно занулялось — нужно {"$F_{y'}|_a=0$"}. Это «условие, которое появляется само собой» — отсюда название «естественное».
Для функционала
{"$$J[y_1,\\dots,y_n]=\\int_a^b F(x,y_1,\\dots,y_n,y_1',\\dots,y_n')\\,dx$$"}
с фиксированными концами {"$y_i(a)=A_i,\\,y_i(b)=B_i$"} ({"$i=1,\\dots,n$"}) необходимое условие слабого экстремума — система {"$n$"} уравнений Эйлера:
{"$$\\frac{\\partial F}{\\partial y_i}-\\frac{d}{dx}\\frac{\\partial F}{\\partial y_i'}=0,\\qquad i=1,\\dots,n.$$"}
Это система ОДУ второго порядка для {"$\\mathbf y(x)=(y_1,\\dots,y_n)$"} — суммарно {"$2n$"} констант интегрирования определяются {"$2n$"} граничными условиями.
Каждое уравнение Эйлера получается вариацией функционала по одной из неизвестных функций {"$y_i$"} при фиксированных остальных. Геометрически: экстремаль — это кривая в {"$\\mathbb R^n$"}, удовлетворяющая всем {"$n$"} уравнениям одновременно.
Пример: функционал действия в механике {"$S=\\int L(t,\\mathbf q,\\dot{\\mathbf q})\\,dt$"} — система уравнений Эйлера—Лагранжа для координат {"$q_i$"}.
Для функционала
{"$$J[y]=\\int_a^b F(x,y,y',y'',\\dots,y^{(m)})\\,dx$$"}
с граничными условиями, фиксирующими {"$y,y',\\dots,y^{(m-1)}$"} на обоих концах, необходимое условие слабого экстремума — уравнение Эйлера–Пуассона:
{"$$\\sum_{k=0}^m (-1)^k\\,\\frac{d^k}{dx^k}\\frac{\\partial F}{\\partial y^{(k)}}=0.$$"}
Это ОДУ порядка {"$2m$"}; {"$2m$"} констант интегрирования определяются {"$2m$"} граничными условиями ({"$m$"} на каждом конце).
Структура: уравнение Эйлера–Пуассона — это знакочередующаяся сумма полных производных от частных производных {"$F$"} по соответствующим аргументам.
Найти {"$y(x)\\in C^1[a,b]$"} с граничными условиями {"$y(a)=A,\\,y(b)=B$"}, доставляющую экстремум функционалу
{"$$J[y]=\\int_a^b F(x,y,y')\\,dx$$"}
при дополнительном интегральном ограничении
{"$$K[y]=\\int_a^b G(x,y,y')\\,dx=\\ell\\ \\text{(задано)}.$$"}
Если {"$y(x)$"} — допустимая экстремаль изопериметрической задачи, и {"$y$"} не является экстремалью функционала‑ограничения {"$K$"} (условие невырожденности), то существует константа {"$\\lambda$"} (множитель Лагранжа) такая, что {"$y$"} удовлетворяет уравнению Эйлера для составного функционала {"$\\Phi=F+\\lambda G$"}:
{"$$\\Phi_y-\\frac{d}{dx}\\Phi_{y'}=0,\\qquad \\Phi(x,y,y')=F(x,y,y')+\\lambda\\,G(x,y,y').$$"}
Алгоритм решения изопериметрической задачи:
Условный экстремум — та же экстремаль, но для «штрафного» функционала {"$F+\\lambda G$"}. Множитель {"$\\lambda$"} — цена нарушения ограничения.
Условие Лежандра. Необходимое условие слабого минимума: {"$F_{y'y'}\\ge 0$"} на экстремали. Усиленное: {"$F_{y'y'}>0$"}.
Уравнение Якоби. Линеаризация уравнения Эйлера.
Условие Якоби. На {"$(a,b]$"} нет сопряжённых точек.
Условие трансверсальности для правого конца {"$(x_1,y(x_1))$"} на кривой {"$y=\\varphi(x)$"}: {"$F+(\\varphi'-y')F_{y'}=0$"}.