Обыкновенное дифференциальное уравнение — это локальный закон поведения функции: он задаёт значение старшей производной через переменную, функцию и её младшие производные.
Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) {"$n$"}‑го порядка называется соотношение вида
{"$$F(x,\\,y,\\,y',\\,y'',\\,\\dots,\\,y^{(n)})=0$$"}
между независимой переменной {"$x$"}, функцией {"$y(x)$"} и её производными до порядка {"$n$"}.
Виды записи:
Решением ОДУ на интервале {"$I$"} называется функция {"$y(x)$"}, такая что:
Задача Коши для уравнения {"$n$"}‑го порядка — задача отыскания решения, удовлетворяющего {"$n$"} начальным условиям:
{"$$y(x_0)=y_0,\\quad y'(x_0)=y_1,\\quad \\dots,\\quad y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}.$$"}
Для системы {"$\\dot{\\mathbf y}=\\mathbf f(x,\\mathbf y)$"} задача Коши — найти решение с {"$\\mathbf y(x_0)=\\mathbf y_0$"}.
Общее решение — {"$n$"}‑параметрическое семейство решений {"$y=\\varphi(x,C_1,\\dots,C_n)$"}, такое что любое решение при каждом наборе начальных условий получается выбором подходящих {"$C_1,\\dots,C_n$"}.
Частное решение — фиксированное решение, получаемое при конкретных значениях констант.
Интегральная кривая — график решения в плоскости (или пространстве) переменных {"$(x,y)$"}.
ОДУ — это локальный закон поведения функции: значение {"$y^{(n)}$"} в каждой точке определяется через x, y и младшие производные. Решая ОДУ, мы восстанавливаем функцию по её локальному закону, и неопределённость восстановления — это и есть {"$n$"} произвольных постоянных.
Задача Коши фиксирует {"$n$"} начальных значений — ровно столько, сколько нужно, чтобы выделить единственное решение.
Уравнение {"$y'=f(x,y)$"} в каждой точке плоскости задаёт наклон касательной к графику решения. Интегральная кривая всегда касается этого поля направлений. Свойства поля «видны глазом» — куда поведёт решение, где сходимость, где разбегание.
Интерактив Поле направлений — поиграть с уравнением и добавить кривые кликом → Песочница «Кинуть шарик» в поле и посмотреть, куда поплывёт →Четыре классических типа, для каждого из которых есть алгоритм. Если уравнение не сводится к ним заменой — обычно оно требует более тонких методов.
ОДУ 1‑го порядка вида
{"$$y'=f(x)\\,g(y),\\qquad \\text{или}\\qquad M(x)\\,N(y)\\,dx + P(x)\\,Q(y)\\,dy = 0.$$"}
Алгоритм решения:
ОДУ вида {"$y'=f(y/x)$"} — правая часть зависит только от отношения {"$y/x$"}.
Замена {"$u=y/x$"} (т. е. {"$y=ux$"}, {"$y'=u+xu'$"}) сводит уравнение к {"$xu'=f(u)-u$"} — с разделяющимися переменными.
«Однородное» = масштабно‑инвариантное: при замене {"$(x,y)\\to(\\lambda x,\\lambda y)$"} уравнение не меняется.
Поле направлений зависит только от {"$y/x$"} — одно и то же на лучах из начала координат. Замена {"$u=y/x$"} убирает эту симметрию.
Обобщения:
{"$$y'+p(x)\\,y=q(x),$$"} где {"$p(x),q(x)$"} непрерывны на интервале {"$I$"}.
Если {"$q\\equiv 0$"} — линейное однородное. Иначе — линейное неоднородное.
Формула общего решения:
{"$$y(x)=e^{-\\int p(x)\\,dx}\\left(\\int q(x)\\,e^{\\int p(x)\\,dx}\\,dx+C\\right).$$"}
Решение задачи Коши с {"$y(x_0)=y_0$"} существует и единственно на всём интервале непрерывности {"$p(x),q(x)$"} — следствие линейности.
Метод Бернулли (произведение двух функций):
Метод вариации постоянной:
Принцип суперпозиции для линейного: {"$y_{\\text{общ}}=y_{\\text{общ.одн}}+y_{\\text{ч.неодн}}$"} — общее решение = общее однородного + любое частное неоднородного.
Уравнение {"$M(x,y)\\,dx+N(x,y)\\,dy=0$"} называется в полных дифференциалах, если существует {"$U(x,y)$"} такая, что {"$dU=M\\,dx+N\\,dy$"}.
Общее решение: {"$U(x,y)=C$"}.
{"$M\\,dx+N\\,dy=0$"} — в полных дифференциалах в односвязной области тогда и только тогда, когда
{"$$\\frac{\\partial M}{\\partial y}=\\frac{\\partial N}{\\partial x}.$$"}
Функция {"$\\mu(x,y)$"} такая, что {"$\\mu M\\,dx+\\mu N\\,dy=0$"} становится уравнением в полных дифференциалах.
Условие: {"$\\partial(\\mu M)/\\partial y=\\partial(\\mu N)/\\partial x$"}.
Частные случаи:
Идея: ищем «потенциал» {"$U(x,y)$"}, для которого {"$dU=M\\,dx+N\\,dy$"}. Если такой есть — любое решение задаётся уравнением {"$U(x,y)=C$"}, т.е. лежит на линии уровня {"$U$"}.
Критерий {"$M_y=N_x$"} — это условие интегрируемости (равенство смешанных производных {"$U_{xy}=U_{yx}$"}).
Когда исходное уравнение не в полных дифференциалах — ищем такой множитель {"$\\mu$"}, после умножения на который условие интегрируемости выполняется.
{"$$y'+p(x)\\,y=q(x)\\,y^n,\\qquad n\\in\\mathbb R,\\ n\\ne 0,1.$$"}
Метод решения (через замену):
Альтернатива: представить {"$y=u(x)\\,v(x)$"} и применить метод Бернулли как для линейного уравнения (подбор {"$v$"}).
{"$$y'=p(x)\\,y^2+q(x)\\,y+r(x).$$"}
Свойства уравнения Риккати:
Бернулли — оборотень: нелинейное превращается в линейное заменой {"$z=y^{1-n}$"}.
Риккати — крепость: без частного решения не сдаётся.
Когда уравнение {"$F(x,y,y')=0$"} нельзя явно решить относительно {"$y'$"} — появляется новый объект: особое решение, в каждой точке которого нарушается единственность задачи Коши. А универсальный способ решения — метод введения параметра.
Рассматривается уравнение
{"$$F(x,y,y')=0,\\qquad F(x,y,p)\\in C^1(D),\\ D\\subset\\mathbb R^3.$$"}
Поскольку при заданных {"$(x_0,y_0)$"} уравнение {"$F(x_0,y_0,p)=0$"} может иметь несколько корней {"$p$"}, для выделения единственного решения нужно задавать три числа:
{"$$y(x_0)=y_0,\\quad y'(x_0)=p_0,\\qquad F(x_0,y_0,p_0)=0.$$"}
Пусть {"$F\\in C^1$"} в окрестности точки {"$(x_0,y_0,p_0)$"}, {"$F(x_0,y_0,p_0)=0$"} и
{"$$F_p(x_0,y_0,p_0)\\ne 0.$$"}
Тогда задача Коши имеет единственное решение на некотором интервале {"$(x_0-\\delta,x_0+\\delta)$"}.
Почему условие именно на {"$F_p$"}. По теореме о неявной функции из уравнения {"$F(x,y,p)=0$"} при {"$F_p\\ne 0$"} можно локально выразить {"$p=\\varphi(x,y)$"} — гладкую функцию. Тем самым мы возвращаемся к разрешённому уравнению
{"$$y'=\\varphi(x,y),\\qquad y(x_0)=y_0,$$"}
для которого работает теорема Пикара.
Если {"$F_p=0$"} — теорема о неявной функции не работает, явное выражение {"$p$"} через {"$x,y$"} нарушается, и это типичная зона особых решений.
Если уравнение {"$F(x,y,p)=0$"} (где {"$p=y'$"}) удаётся параметризовать гладкой кривой
{"$$x=\\varphi(t,p),\\quad y=\\psi(t,p),\\quad p=p,$$"}
или, что то же, разрешить относительно одной из переменных {"$x=\\varphi(y,p)$"} либо {"$y=\\psi(x,p)$"}, то, используя тождество {"$dy=p\\,dx$"}, получаем уравнение первого порядка с параметром {"$p$"} — обычно уже разрешённое относительно одной из производных.
Алгоритм (типичный случай {"$y=\\psi(x,p)$"}):
Аналогично для {"$x=\\varphi(y,p)$"}: берём дифференциал, подставляем {"$dx=dy/p$"}, решаем относительно {"$dy/dp$"}.
Главный приём: {"$dy=p\\,dx$"} — мост между переменными {"$(x,y,p)$"}, позволяющий заменить неразрешимое {"$F(x,y,p)=0$"} на разрешимое уравнение в параметре {"$p$"}.
{"$$y=x\\,\\varphi(p)+\\psi(p),\\qquad p=y'.$$"}
Метод: дифференцируя по {"$x$"}, имеем {"$p=\\varphi(p)+(x\\,\\varphi'(p)+\\psi'(p))\\,p_x$"}, откуда
{"$$\\frac{dx}{dp}=\\frac{x\\,\\varphi'(p)+\\psi'(p)}{p-\\varphi(p)}$$"}
— линейное уравнение относительно {"$x(p)$"}.
{"$$y=x\\,p+\\psi(p),\\qquad p=y'.$$"}
(Частный случай Лагранжа при {"$\\varphi(p)\\equiv p$"}.)
Общее решение: {"$y=Cx+\\psi(C)$"} — однопараметрическое семейство прямых.
Особое решение: огибающая этого семейства, заданная параметрически
{"$$x=-\\psi'(p),\\qquad y=-p\\,\\psi'(p)+\\psi(p).$$"}
Особое решение уравнения {"$F(x,y,y')=0$"} — решение, в каждой точке которого нарушается единственность задачи Коши: через эту точку проходит другая интегральная кривая (или сама огибающая семейства).
Особое решение содержится в одной из двух дискриминантных кривых:
{"$$F(x,y,p)=0,\\qquad F_p(x,y,p)=0;$$"}
{"$$\\Phi(x,y,C)=0,\\qquad \\Phi_C(x,y,C)=0.$$"}
Геометрический смысл особого решения — огибающая семейства интегральных кривых. В её точках это семейство «касается само себя»: через каждую точку проходит сама огибающая и одна из кривых семейства. Поэтому единственность задачи Коши там нарушается.
Для уравнения Клеро это особенно наглядно: общее решение — семейство прямых, а особое — кривая, которая в каждой точке касается одной из этих прямых.
Алгоритм поиска особого решения:
p‑дискриминантная кривая — не всегда особое решение, а только кандидат. Нужно проверить: (1) является ли она решением уравнения, (2) проходят ли через её точки другие интегральные кривые.
Также {"$F_p=0$"} может задавать просто кратные корни {"$p$"} без касания решений — это не особое решение, а «техническая» вырожденность.
За каждым типом понижения порядка стоит симметрия уравнения:
Эта симметрия позволяет «сократить» одну координату и понизить порядок.
Стратегия применения:
Достаточные условия Пикара гарантируют локальное единственное решение. Но «локальное» — ключевое слово: продолжить решение на всю ось получится не всегда. По дороге — лемма Гронуолла и ε‑приближённые решения, главные технические инструменты этой теории.
Системой ОДУ в нормальной форме (разрешённой относительно производных) называется
{"$$\\dot{\\mathbf y}=\\mathbf f(x,\\mathbf y),\\qquad \\mathbf y\\in\\mathbb R^n,$$"}
где {"$\\mathbf f(x,\\mathbf y)$"} определена в области {"$G\\subset\\mathbb R^{n+1}$"}.
Задача Коши: найти решение {"$\\mathbf y(x)$"}, удовлетворяющее начальному условию
{"$$\\mathbf y(x_0)=\\mathbf y_0,\\qquad (x_0,\\mathbf y_0)\\in G.$$"}
Геометрически: в области {"$G\\subset\\mathbb R^{n+1}$"} векторное поле {"$(\\mathbf f,1)$"} задаёт направление в каждой точке. Интегральная кривая касается этого поля в каждой своей точке. Задача Коши = найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку {"$(x_0,\\mathbf y_0)$"}.
Лемма об эквивалентности: задача Коши эквивалентна интегральному уравнению
{"$$\\mathbf y(x)=\\mathbf y_0+\\int_{x_0}^{x}\\mathbf f(s,\\mathbf y(s))\\,ds.$$"}
Это уравнение — основной объект, к которому применяют последовательные приближения и принцип сжимающих отображений.
Пусть {"$u(x), v(x)$"} непрерывны на отрезке {"$[a,b]$"}, {"$u(x)\\ge 0$"}, и существует {"$C\\ge 0$"} такая, что
{"$$v(x)\\le C+\\int_a^x u(s)\\,v(s)\\,ds,\\qquad x\\in[a,b].$$"}
Тогда
{"$$v(x)\\le C\\cdot \\exp\\!\\left(\\int_a^x u(s)\\,ds\\right),\\qquad x\\in[a,b].$$"}
Если {"$v(x)\\in C^1[a,b]$"}, {"$u(x)\\ge 0$"} непрерывна и
{"$$v'(x)\\le u(x)\\,v(x)+w(x),\\qquad v(a)=v_0,$$"}
то
{"$$v(x)\\le v_0\\,e^{\\int_a^x u(s)\\,ds}+\\int_a^x w(s)\\,e^{\\int_s^x u(\\tau)\\,d\\tau}\\,ds.$$"}
Гронуолл — это «анализ-эквивалент» принципа сжатия: интегральное неравенство с {"$v$"} под интегралом превращается в явную экспоненциальную оценку.
Главные применения:
«Под интегралом — экспонента наверху»: {"$v\\le C+\\int u\\,v\\;\\Rightarrow\\;v\\le C\\,e^{\\int u}$"}.
Непрерывная функция {"$\\boldsymbol\\varphi(x)$"} на отрезке {"$[a,b]$"}, имеющая кусочно‑непрерывную производную (с конечным числом точек излома), называется ε‑приближённым решением системы {"$\\dot{\\mathbf y}=\\mathbf f(x,\\mathbf y)$"}, если:
Если {"$\\mathbf f$"} непрерывна на компакте {"$K\\subset G$"}, то для любого {"$\\varepsilon>0$"} существует ε‑приближённое решение задачи Коши на некотором отрезке {"$[x_0-\\delta,x_0+\\delta]$"}.
Конструкция (ломаные Эйлера):
Пусть {"$\\mathbf f$"} удовлетворяет условию Липшица по {"$\\mathbf y$"} с константой {"$L$"} в области, содержащей графики {"$\\boldsymbol\\varphi_1,\\boldsymbol\\varphi_2$"}. Если {"$\\boldsymbol\\varphi_1$"} — {"$\\varepsilon_1$"}‑приближённое решение, {"$\\boldsymbol\\varphi_2$"} — {"$\\varepsilon_2$"}‑приближённое решение на {"$[x_0,T]$"}, и {"$\\|\\boldsymbol\\varphi_1(x_0)-\\boldsymbol\\varphi_2(x_0)\\|\\le \\delta$"}, то
{"$$\\|\\boldsymbol\\varphi_1(x)-\\boldsymbol\\varphi_2(x)\\|\\le \\delta\\,e^{L(x-x_0)}+\\frac{\\varepsilon_1+\\varepsilon_2}{L}\\bigl(e^{L(x-x_0)}-1\\bigr).$$"}
Эта теорема — главный технический инструмент, из которого выводятся сразу три результата:
Запас ошибок {"$\\varepsilon_1,\\varepsilon_2$"} в правой части ОДУ экспоненциально раздувается на длине отрезка — с константой Липшица {"$L$"}.
Пусть в области {"$G\\subset\\mathbb R^{n+1}$"} вектор‑функция {"$\\mathbf f(x,\\mathbf y)$"} непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по {"$\\mathbf y$"} (равномерно по {"$x$"}):
{"$$\\|\\mathbf f(x,\\mathbf y_1)-\\mathbf f(x,\\mathbf y_2)\\|\\le L\\,\\|\\mathbf y_1-\\mathbf y_2\\|.$$"}
Тогда для всякой {"$(x_0,\\mathbf y_0)\\in G$"} задача Коши {"$\\dot{\\mathbf y}=\\mathbf f(x,\\mathbf y)$"}, {"$\\mathbf y(x_0)=\\mathbf y_0$"} имеет единственное решение на некотором интервале {"$(x_0-\\delta,x_0+\\delta)$"}.
Достаточные условия Липшица:
Метод последовательных приближений Пикара:
{"$$\\mathbf y_0(x)=\\mathbf y_0,\\qquad \\mathbf y_{k+1}(x)=\\mathbf y_0+\\int_{x_0}^x \\mathbf f(s,\\mathbf y_k(s))\\,ds.$$"}
В условиях теоремы последовательность {"$\\{\\mathbf y_k\\}$"} равномерно сходится к решению на {"$[x_0-\\delta,x_0+\\delta]$"} с
{"$$\\delta\\le \\min\\!\\left(a,\\,\\dfrac{b}{M},\\,\\dfrac{q}{L}\\right),\\quad M=\\max\\|\\mathbf f\\|,\\ 0
Непрерывность + Липшиц по {"$\\mathbf y$"} ⇒ локальное существование и единственность.
Без условия Липшица единственность не гарантирована. Пример: {"$y'=3y^{2/3}$"}, {"$y(0)=0$"} имеет решения {"$y\\equiv 0$"} и {"$y=x^3$"} — через начало координат проходят два разных решения.
При этом существование сохраняется (теорема Пеано) — но решений может быть много.
Теорема Пеано (только существование). Если {"$\\mathbf f(x,\\mathbf y)$"} непрерывна в {"$G$"} (без условия Липшица), то задача Коши имеет хотя бы одно локальное решение. Единственность не гарантирована.
Теорема Коши (аналитический случай). Если {"$f(x,y)$"} аналитична в точке {"$(x_0,y_0)$"}, то задача Коши имеет единственное решение, аналитическое в {"$x_0$"} (разложение в ряд Тейлора с коэффициентами, находящимися рекуррентно).
Пусть {"$f(x,y_0,y_1,\\dots,y_{n-1})$"} непрерывна вместе со всеми частными производными {"$\\partial f/\\partial y_j$"}, {"$j=0,\\dots,n-1$"}, в области {"$G\\subset\\mathbb R^{n+1}$"}. Пусть {"$(x_0,y_0^*,y_1^*,\\dots,y_{n-1}^*)\\in G$"}. Тогда задача Коши
{"$$y^{(n)}=f(x,y,y',\\dots,y^{(n-1)}),\\quad y(x_0)=y_0^*,\\ y'(x_0)=y_1^*,\\ \\dots,\\ y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}^*$$"}
имеет единственное решение на некотором интервале {"$(x_0-\\delta,x_0+\\delta)$"}.
Идея сведения к системе. Положим {"$z_0=y,\\,z_1=y',\\,\\dots,\\,z_{n-1}=y^{(n-1)}$"}. Уравнение n‑го порядка эквивалентно системе
{"$$\\dot z_0=z_1,\\ \\dot z_1=z_2,\\ \\dots,\\ \\dot z_{n-2}=z_{n-1},\\ \\dot z_{n-1}=f(x,z_0,z_1,\\dots,z_{n-1}).$$"}
В условиях теоремы Пикара решение единственно продолжается до максимального интервала {"$(\\alpha,\\beta)\\ni x_0$"}. При {"$x\\to\\beta-0$"} (соответственно {"$x\\to\\alpha+0$"}) реализуется хотя бы один из трёх сценариев:
Помешать продолжению решения может только одно из трёх:
Достаточное условие продолжимости на отрезок: априорная оценка {"$\\|\\mathbf y(x)\\|\\le R$"} на отрезке + замкнутость {"$G$"}. Часто такая оценка получается через лемму Гронуолла.
Даже линейное по {"$\\mathbf y$"} уравнение продолжается на весь интервал непрерывности коэффициентов — но нелинейное может «взорваться» внутри области определения {"$\\mathbf f$"}. Это и есть причина, по которой максимальный интервал — отдельный объект изучения.
{"$$y^{(n)}+a_1\\,y^{(n-1)}+\\dots+a_{n-1}\\,y'+a_n\\,y=0,\\qquad a_i\\in\\mathbb R.$$"}
Линейный дифференциальный оператор: {"$L=D^n+a_1 D^{n-1}+\\dots+a_n$"}, где {"$D=d/dx$"}. Уравнение записывается как {"$L[y]=0$"}.
{"$$P(\\lambda)=\\lambda^n+a_1\\lambda^{n-1}+\\dots+a_{n-1}\\lambda+a_n=0.$$"}
Ключевое тождество: {"$L[e^{\\lambda x}]=P(\\lambda)\\,e^{\\lambda x}$"} — экспонента {"$e^{\\lambda x}$"} является решением тогда и только тогда, когда {"$\\lambda$"} — корень характеристического многочлена.
По каждому корню {"$\\lambda$"} многочлена {"$P(\\lambda)$"} получаем соответствующие линейно независимые решения:
Объединяя решения по всем корням, получаем ФСР из ровно {"$n$"} линейно независимых решений. Общее решение:
{"$$y_{\\text{общ}}(x)=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+\\dots+C_n y_n(x).$$"}
Линейный оператор {"$L=\\dfrac{d^n}{dx^n}+a_1\\dfrac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}+\\dots+a_n$"} при подстановке {"$e^{\\lambda x}$"} даёт {"$L[e^{\\lambda x}]=P(\\lambda)e^{\\lambda x}$"}, где {"$P$"} — характеристический многочлен.
Поэтому {"$e^{\\lambda x}$"} — решение тогда и только тогда, когда {"$\\lambda$"} — корень {"$P$"}. Появление {"$xe^{\\lambda x}$"} при кратных корнях — это аналог резонанса: производная {"$P'(\\lambda)\\ne 0$"} для простого корня, а для кратного приходится дифференцировать характеристический многочлен дополнительно — что геометрически даёт степень {"$x$"}.
Функция вида
{"$$f(x)=e^{\\alpha x}\\bigl(P_m(x)\\cos\\beta x+Q_m(x)\\sin\\beta x\\bigr),$$"}
где {"$P_m,Q_m$"} — многочлены степени {"$\\le m$"}, называется квазимногочленом.
Число {"$\\gamma=\\alpha+i\\beta$"} называется характеристическим показателем квазимногочлена.
Частные случаи:
Частное решение неоднородного уравнения {"$L[y]=f(x)$"} с квазимногочленом справа ищется в виде
{"$$y_{\\text{ч}}(x)=x^s\\,e^{\\alpha x}\\bigl(\\tilde P_m(x)\\cos\\beta x+\\tilde Q_m(x)\\sin\\beta x\\bigr),$$"}
где:
Алгоритм метода подбора:
Резонанс: если {"$\\alpha+i\\beta$"} — корень характеристического уравнения кратности {"$s$"}, домножаем подобранный анзац на {"$x^s$"}.
В подборе обязательно брать степень {"$m$"} многочленов одинаковую (максимальную из степеней {"$P_m,Q_m$"} в правой части). И оба множителя (cos и sin) обязательны в анзаце, даже если один отсутствует в правой части.
Принцип суперпозиции: если правая часть — сумма квазимногочленов с разными {"$\\gamma$"}, ищем частное решение как сумму анзацев — каждый со своим {"$s$"}.
{"$$x^n\\,y^{(n)}+a_1\\,x^{n-1}\\,y^{(n-1)}+\\dots+a_{n-1}\\,x\\,y'+a_n\\,y=f(x),\\qquad x>0$$"}
(или {"$x<0$"} — рассматривается отдельно). Все коэффициенты при {"$x^k y^{(k)}$"} — постоянные.
Два способа решения:
Уравнение Эйлера масштабно‑инвариантно: замена {"$x\\to\\lambda x$"} оставляет уравнение в том же виде. Это означает, что подходящие решения — степенные {"$y=x^k$"} (они меняются по простому закону при растяжениях).
Логарифмическая замена {"$t=\\ln x$"} превращает растяжения в сдвиги, и уравнение становится инвариантным относительно сдвигов по {"$t$"} — это уравнение с постоянными коэффициентами.
Если все собственные значения {"$\\lambda_1,\\dots,\\lambda_n$"} матрицы {"$A$"} системы {"$\\dot{\\mathbf y}=A\\mathbf y$"} различны, с собственными векторами {"$\\mathbf v_1,\\dots,\\mathbf v_n$"} (которые автоматически линейно независимы), то общее действительное решение записывается так:
{"$$\\mathbf y_1(t)=e^{\\alpha t}(\\mathbf a\\cos\\beta t-\\mathbf b\\sin\\beta t),\\qquad \\mathbf y_2(t)=e^{\\alpha t}(\\mathbf a\\sin\\beta t+\\mathbf b\\cos\\beta t).$$"}
Общее решение — линейная комбинация всех {"$n$"} полученных решений с произвольными постоянными коэффициентами.
Для любой квадратной матрицы {"$A\\in\\mathbb C^{n\\times n}$"} существует невырожденная матрица {"$T$"} такая, что
{"$$T^{-1}AT=J=\\operatorname{diag}(J_{k_1}(\\lambda_1),\\,J_{k_2}(\\lambda_2),\\,\\dots,\\,J_{k_s}(\\lambda_s))$$"}
— блочно‑диагональная жорданова форма, составленная из жордановых клеток
{"$$J_k(\\lambda)=\\begin{pmatrix}\\lambda&1&&\\\\&\\lambda&1&\\\\&&\\ddots&1\\\\&&&\\lambda\\end{pmatrix}_{k\\times k}=\\lambda E+N,$$"}
где {"$N$"} — нильпотентная матрица с единицами над диагональю ({"$N^k=0$"}).
Каждой жордановой клетке {"$J_k(\\lambda)$"} соответствует цепочка присоединённых векторов {"$\\mathbf v_1,\\dots,\\mathbf v_k$"}, удовлетворяющая системе
{"$$(A-\\lambda E)\\mathbf v_1=\\mathbf 0,\\qquad (A-\\lambda E)\\mathbf v_j=\\mathbf v_{j-1},\\ \\ j=2,\\dots,k.$$"}
Алгоритм нахождения цепочки:
Цепочка даёт {"$k$"} линейно независимых решений системы:
{"$$\\mathbf y_j(t)=\\left(\\mathbf v_j+\\frac{t}{1!}\\,\\mathbf v_{j-1}+\\frac{t^2}{2!}\\,\\mathbf v_{j-2}+\\dots+\\frac{t^{j-1}}{(j-1)!}\\,\\mathbf v_1\\right)e^{\\lambda t},\\ \\ j=1,\\dots,k.$$"}
Алгоритм построения общего решения нормальной линейной системы с пост. коэф.:
В жордановой клетке {"$J_k(\\lambda)$"} матричная экспонента считается явно: {"$e^{J_k t}=e^{\\lambda t}\\cdot e^{Nt}$"}, где {"$N$"} — нильпотентная часть (единицы над диагональю).
Поскольку {"$N^k=0$"}, ряд {"$e^{Nt}=E+Nt+\\tfrac{N^2 t^2}{2!}+\\dots+\\tfrac{N^{k-1}t^{k-1}}{(k-1)!}$"} обрывается. Это даёт степенные коэффициенты {"$1,t,t^2/2!,\\dots$"} в решениях.
Правая часть линейной системы {"$\\dot{\\mathbf y}=A\\mathbf y+\\mathbf f(t)$"} называется векторным квазимногочленом, если
{"$$\\mathbf f(t)=e^{\\alpha t}\\bigl(\\mathbf P_m(t)\\cos\\beta t+\\mathbf Q_m(t)\\sin\\beta t\\bigr),$$"}
где {"$\\mathbf P_m,\\mathbf Q_m$"} — вектор‑многочлены степени {"$\\le m$"}. Число {"$\\gamma=\\alpha+i\\beta$"} — характеристический показатель.
Частное решение системы {"$\\dot{\\mathbf y}=A\\mathbf y+\\mathbf f(t)$"} с векторным квазимногочленом справа ищется в виде
{"$$\\mathbf y_{\\text{ч}}(t)=t^s\\,e^{\\alpha t}\\bigl(\\tilde{\\mathbf P}_{m+s}(t)\\cos\\beta t+\\tilde{\\mathbf Q}_{m+s}(t)\\sin\\beta t\\bigr),$$"}
где:
Резонанс для системы. Степень анзаца раздувается на {"$s$"} — кратность {"$\\gamma$"} как корня характеристического многочлена матрицы. В отличие от уравнения n‑го порядка, для системы степень многочлена может вырасти даже при простом резонансном собственном значении (если {"$\\mathbf P_m$"} «попадает» в собственное подпространство).
В векторном случае надо смотреть не просто на корни характеристического многочлена, но и на структуру жордановых клеток: степень анзаца определяется размером максимальной клетки на резонансном СЗ.
{"$$e^{At}=\\sum_{k=0}^\\infty A^k\\,\\frac{t^k}{k!}=E+At+\\frac{A^2 t^2}{2!}+\\frac{A^3 t^3}{3!}+\\dots$$"}
Ряд сходится по любой матричной норме для любых {"$A\\in\\mathbb R^{n\\times n}$"} и {"$t\\in\\mathbb R$"}.
Однородная задача Коши. {"$\\dot{\\mathbf y}=A\\mathbf y$"}, {"$\\mathbf y(0)=\\mathbf y_0$"}:
{"$$\\mathbf y(t)=e^{At}\\,\\mathbf y_0.$$"}
Фундаментальная матрица. {"$\\Phi(t)=e^{At}$"} — нормированная ФМ ({"$\\Phi(0)=E$"}).
Неоднородная. {"$\\dot{\\mathbf y}=A\\mathbf y+\\mathbf f(t)$"}, {"$\\mathbf y(t_0)=\\mathbf y_0$"}:
{"$$\\mathbf y(t)=e^{A(t-t_0)}\\,\\mathbf y_0+\\int_{t_0}^{t}e^{A(t-s)}\\,\\mathbf f(s)\\,ds$$"}
(формула вариации постоянных для систем с постоянными коэффициентами).
Как считать {"$e^{At}$"} на практике:
{"$$e^{J_k(\\lambda) t}=e^{\\lambda t}\\left(E+Nt+\\frac{N^2 t^2}{2!}+\\dots+\\frac{N^{k-1}t^{k-1}}{(k-1)!}\\right)$$"}